Eine Praxisorientierte Einführung
in die Finanzmathematik
mit Excel-(Arbeitsblatt)funktionen
(Worksheetsfunctions)

1. Zinsrechnung

Wird ein Kapital für einen gewissen Zeitraum ausgeliehen (oder angelegt), so werden als Nutzungsentgelt Zinsen erhoben.

  1. einfache (lineare) Verzinsung
    2. Die Zinsen werden zeitantieilig berechnet und erst am Ende der Laufzeit dem Kapital zugeschlagen (bzw. mit dem Kapital verrechnet). Innerhalb der Laufzeit existiert kein Zinszuschlagtermin.
  2. Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung)
    3. Die Zinsen werden nach jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt und tragen von da an selbst wieder Zinsen. Innerhalb der Laufzeit liegen ein oder mehrere Zinszuschlagtermine.

1.1 Einfache (lineare) Verzinsung

Formel: $K_n = K_0 + n \times (K_0 \times r) <=>$

$ K_n = K_0 \times ( 1 + n \times r ) = K_0 \times ( 1 + n \times \frac{p}{100} ) $ [ F1.1a ]
wobei
$ K_n $ : Erspartnis nach n Jahren, Zukunfswert
$ K_0 $ : Anfangskapital, Initialwert, Barwet
$ n $ : Laufzeit in Jahren
$ r $ : Der Zinssatz in Kommazahl; und
$ p $ : Der Zinssatz in Prozentzahl. D.h. $ r = \frac{p}{100} $
( um die Formel möglich einfach zu haltern, werde ich weiter mit $ r $ arbeiten. )

Ist z.B. der EndBetrag bekannt, aber Anfanskapital gefragt wird, dann rechnet man mit

$ K_0 = \frac{K_n}{1 + n \times r} $ [ F1.1b ]
Wird die Laufzeit gesucht, dann ergibt sich
$ n = \frac{\left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)}{r} $ [ F1.1c ]
und schließlich der Zinssatz
$ r = \frac{\left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)}{n} $ [ F1.1d ]
Für die o.g. Berechnungen habe ich noch keine entsprechende Worksheetfunctions gefunden.

1.2 Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung)

Am Ende des 1. Jahr wird eine Zwschensumme $K_1 = K_0 + (K_0 \times r) $
$ <=> K_1 = K_0 \times (1 + r)$ gebildet.
Und nach dem 2. Jahr beträgt die Zwischensumme $K_2 = K_1 + (K_1 \times r) $
$ <=> K_2 = K_1 \times (1 + r) $
$ <=> K_2 = [ K_0 \times (1 + r) ] \times (1 + r) $
$ <=> K_2 = K_0 \times (1 + r)^2 $
genau so beim 3. Jahr $ <=> K_3 = K_2 \times (1 + r) $
$ <=> K_3 = [ K_0 \times (1 + r)^2 ] \times (1 + r) $
$ <=> K_3 = K_0 \times (1 + r)^3 $
$ ... $ und somit gilt allgemein

$ K_n = K_0 \times (1 + r)^n $[ F1.2a ]
Wie letzten Abschnitt kann man auch die Formel nach andere Größe auflösen.
Barwert am Anfang:
$ K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n} $[ F1.2b ]
Laufzeit:
$ n = \frac{ log\left( \frac{K_n}{K_0} \right) }{ log( 1 + r ) } = \frac{ log(K_n) - log(K_0) }{ log( 1 + r ) } $[ F1.2c ]

Und schließlich der Zinssatz (in Decimalzahl):
$ r = \sqrt[n]{ \frac{K_n}{K_0} } - 1 $[ F1.2d ]

Das ist sicherlich schwierig zu handhaben, daher führen wir nun 5 grundlegende Worksheetsfunctions ein, die irgendwie ein System bilden.
(engl.) term(engl.) function (deut.) Name(deut.) Funktionkorrespondiert
zur Formel
Interes
rate		RATE(NPER; PMT; PV; FV; TYPE) ZinssatzZins(Zzr; Rmz; BW; ZW; F)[ F1.2d ]
Number
of period		NPER(RATE; PMT; PV; FV; TYPE) LaufzeitZzr(Zins; Rmz; BW; ZW; F)[ F1.2c ]
(regular)
Payment,
annuity		PMT(RATE; PMT; PV; FV; TYPE) Regelmäßige
Zahlung,
Annuität		RMZ(Zins; Zzr; BW; ZW; F)-
Present
value		PV(RATE; NPER; PMT; FV; TYPE) BarwertBW(Zins; Zzr; ZW; F)[ F1.2b ]
Future
value		FV(RATE; NPER; PMT; PV; TYPE) ZukunfswertZW(Zins; Zzr; BW; F)[ F1.2a ]
$$ PV \times (1 + RATE)^(PMT) + NPER \times (1 + F \times RATE) \times \frac{(1 + RATE)^NPER - 1}{RATE} + FV = 0 $$

Beispiel 1.2-1:
Für Formel [ F1.2a ] sollen wir die Funktion FV() einsetzen. Nehmen wir an, wir zahlen 138,00 € in eine Sparanlage. Der Zinssatz beträgt 4,5% und nach 4 Jahren sollen wir insgesamt 164,57 € erspart haben.

$ 164.57 = 138.00 \times ( 1 + 0.045 )^4 $
Das gleiche werden wir auch in Excel mit dieser Funktion bekommen.
Future value = FV(RATE; NPER; PMT; PV; TYPE)
$ 164.57 = FV(0.045; 4; ; -138.00; 0) $
Bemerkungen: